命題
高校数学の知識から大学数学をがんばるための記事なのだ。質問があったらコメント欄でも Twitter で直接でもいいから訊いてほしいのだ
- 記法
- 論理記号
- $\heading{P\land Q}$
- $\heading{P\lor Q}$
- $\heading{\lnot P}$
- $\heading{P\Rarr Q}$
- $\heading{P\Lrarr Q}$
- 命題の計算
- 交換則
- 二重否定
- 結合則
- 分配法則
- ド・モルガンの法則
- 恒真命題
- 様々な証明
- $\heading{(P\Lrarr\T)\Lrarr P}$
- $\heading{(\T\Rarr P)\Lrarr P}$
- $\heading{(P\Rarr Q)\land(Q\Rarr R)\Rarr(P\Rarr R)}$
- $\heading{P\land Q\Rarr P}$
- $\heading{(P\Rarr Q)\land P\Rarr Q}$
- $\heading{(P\Rarr Q)\Lrarr(\lnot Q\Rarr\lnot P)}$
- 量化がまだ完全には扱えない
- 命題関数
- 量化
- 全称量化
- 存在量化
- 唯一存在量化
- おまけ: 実際の証明
公理雑感
他のけものが実数の公理を見て「当たり前のことが書いてあるけど公理って何?」から「公理と定義の違いがわからない」ってなってたからその解説も込めて公理に関する雑感を書くのだ
数学の教科書一般のちょっとあやふやな公理を解釈するためにこの文章は書かれたのだ。ここでの「公理」は正確な基礎論の公理じゃないのだ。基礎論のけものにこれを話したら怒られちゃうから注意するのだ
断っておくけどアライㄜんもただの学部生なのだ。悪い点あったら指摘をお願いしますのだ
TL; DR (長すぎて読めない人へ)
- 公理はもともと各々が「主にその分野で議論する対象について」「無条件で正しいとする」命題なのだ
- 公理が正しくて十分なんて誰も証明できないのだ
- 以前は「論理展開のほとんどすべてを説明できる明晰で統一的な学問」ではなかったのだ
- そこで新しくできた ZFC が集合論の公理でありながら、数学のほとんど全分野を統一的に説明できるようにしたのだ
- ZFC が合っていれば数学はほとんど合っていると証明できるのだ
- ZFC ができてから今までの公理は大体「議論の対象とする集合がみたしてほしい性質」すなわち扱う対象の定義を書くものに変わったのだ。公理をみたすものが ZFC 内で存在することをもって公理の正しさを保証するから、これで十分なのだ
- でも「主にその分野で議論する対象について」「無条件で正しいとする」命題として各自扱うのは変わらないのだ
- 以上を踏まえて実数の公理を眺めたら意外とこの公理は雄弁で、直感を導いてくれるくらい強いのだ