数学してよアライㄜん

アライㄜんが数学をしないで数学について書くのだ

命題

高校数学の知識から大学数学をがんばるための記事なのだ。質問があったらコメント欄でも Twitter で直接でもいいから訊いてほしいのだ

$\gdef\T{\mathrm{T}}\gdef\F{\mathrm{F}}\gdef\heading#1{\bm{\underline{#1}}}\gdef\t#1{\text{\footnotesize #1}}$
  • 記法
  • 論理記号
    • $\heading{P\land Q}$
    • $\heading{P\lor Q}$
    • $\heading{\lnot P}$
    • $\heading{P\Rarr Q}$
    • $\heading{P\Lrarr Q}$
  • 命題の計算
    • 交換則
    • 二重否定
    • 結合則
    • 分配法則
    • ド・モルガンの法則
    • 恒真命題
  • 様々な証明
    • $\heading{(P\Lrarr\T)\Lrarr P}$
    • $\heading{(\T\Rarr P)\Lrarr P}$
    • $\heading{(P\Rarr Q)\land(Q\Rarr R)\Rarr(P\Rarr R)}$
    • $\heading{P\land Q\Rarr P}$
    • $\heading{(P\Rarr Q)\land P\Rarr Q}$
    • $\heading{(P\Rarr Q)\Lrarr(\lnot Q\Rarr\lnot P)}$
  • 量化がまだ完全には扱えない
  • 命題関数
  • 量化
  • 唯一存在量化
  • おまけ: 実際の証明
続きを読む

デデキント切断による実数の構成・その演算が完備順序体をなすことの証明・そしてコーシー列との関係

デデキント切断で実数を構成した後に順序と演算を入れ、完備な順序体にしたのだ。そのあと有理コーシー列との関わりを見たのだ。完備順序体やコーシー列の収束などの証明を全部書いたから文字数は多いけど見ていってほしいのだ。優しい証明が多いから自明だと思ったら飛ばしてもらって構わないのだ

  • 有理数
  • 有理数の悲劇
    • コーシー列が収束しないのだ
    • 連結じゃないのだ
  • 切断
    • 実数の構成と特徴付け
      • 挟み撃ち
      • 実数の特徴づけ
      • 正の実数の特徴づけ
  • 構造
    • 順序関係
      • 実数の実数による実数のための簡潔な表現
      • 連続性(完備性)
      • アルキメデス
    • 加法
    • 乗法
  • コーシー列再考
    • 実コーシー列とその収束
      • コーシー列
      • 数列の収束
      • 単調収束定理
      • 上極限
      • コーシー列の有界
      • 実コーシー列の収束
      • 実数列の収束先との不等式
    • 有理数での考察
      • コーシー列の埋め込み
      • 有理数列の収束先との不等式
    • コーシー列と実数の関係
      • コーシー列の定める実数
      • 実数による有理コーシー列の構成
続きを読む

公理雑感

他のけものが実数の公理を見て「当たり前のことが書いてあるけど公理って何?」から「公理と定義の違いがわからない」ってなってたからその解説も込めて公理に関する雑感を書くのだ

数学の教科書一般のちょっとあやふやな公理を解釈するためにこの文章は書かれたのだ。ここでの「公理」は正確な基礎論の公理じゃないのだ。基礎論のけものにこれを話したら怒られちゃうから注意するのだ

断っておくけどアライㄜんもただの学部生なのだ。悪い点あったら指摘をお願いしますのだ

TL; DR (長すぎて読めない人へ)

  • 公理はもともと各々が「主にその分野で議論する対象について」「無条件で正しいとする」命題なのだ
  • 公理が正しくて十分なんて誰も証明できないのだ
  • 以前は「論理展開のほとんどすべてを説明できる明晰で統一的な学問」ではなかったのだ
  • そこで新しくできた ZFC が集合論の公理でありながら、数学のほとんど全分野を統一的に説明できるようにしたのだ
  • ZFC が合っていれば数学はほとんど合っていると証明できるのだ
  • ZFC ができてから今までの公理は大体「議論の対象とする集合がみたしてほしい性質」すなわち扱う対象の定義を書くものに変わったのだ。公理をみたすものが ZFC 内で存在することをもって公理の正しさを保証するから、これで十分なのだ
  • でも「主にその分野で議論する対象について」「無条件で正しいとする」命題として各自扱うのは変わらないのだ
  • 以上を踏まえて実数の公理を眺めたら意外とこの公理は雄弁で、直感を導いてくれるくらい強いのだ

目次

  • TL; DR (長すぎて読めない人へ)
  • 目次
  • いきなり公理と言われても……
    • 実数の公理
  • 公理とは
  • 再び実数の公理
    • 体の公理
    • 順序集合
続きを読む