数学してよアライㄜん

アライㄜんが数学をしないで数学について書くのだ

有限体(あまり計算)上の x²+y²=1 の解の個数

$x^2+y^2\equiv 1\pmod p$ ($p$ は素数、$x,y\in\{0,\ldots,p-1\}$) の解の個数を知りたい、というのが大体のモチベーションなのだ

高校生にもわかるように頑張って書いたのだ。有限体の具体例と定義については有限体の紹介を参照してほしいのだ

  • 記法
  • 代表元
    • 代表元の存在の証明
      • 元の位数
      • 位数の最小性
      • 位数最大の元
      • $n$ 次式の解の個数
  • $1=-1$ な有限体
  • $-1$ の平方根
  • 虚数単位の導入
  • 全体の証明
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有限体の紹介

有限体のちょっと知られている事実をわかりやすく書こうと思ったら有限体の紹介だけで相当な文字数になったから分離するのだ……

  • 記号
  • 注意
  • 余り計算
  • $\Bbb{F}_p$ の導入
    • 有限な加法と乗法
    • 有限な割り算
  • 有限体とは
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写像

写像も集合の言葉で書き表せるのだ

<$> \gdef\id{\operatorname{id}} <$>
  • 定義
  • 具体例
  • 写像の作り方
    • 基本的な書き方
    • $\uexist$ から写像を作る
    • well-defined 性
  • 写像周辺のこまごまとした定義
  • 単射全射
  • 全単射と逆写像の関係
  • 像と逆像
    • 値域
    • 逆像
  • 写像の色々な形
      • 数列 (点列)
        • 小うるさい記法の話
        • 部分列
      • 添字づけられた集合族
        • 和集合の書き方
        • 共通部分
    • 直積集合
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学部生シリーズ目次

学部生の数学をまとめていくシリーズをやっていくのだ。集合論の言葉で色々解釈できるようになれればうれしいのだ

質問があったらどの記事にコメントしてもいいし、Twitter で話しかけてくれてもいいのだ。もちろん間違いなども教えて欲しいのだ

集合

集合論をわかりやすく、かつ厳密にやっていきたいのだ。集合論は何をするにも必要になるのだ

  • できないのだ😢
  • 記法
  • 集合
    • 「中に何があるか」だけを気にする
      • 同じものがいくつあるかは気にしない
      • 順番は気にしない
      • 集合の集合も自由に考えていい
  • 簡単にやっても大丈夫なのだ😆
  • 基本的な集合
  • 演算と関係
    • 和集合
    • 共通部分
    • 部分集合
    • 包含関係
    • 等号
    • 差集合
  • 難しい集合の演算
    • べき集合
    • 直積集合
      • 厳密な定義
  • 成り立つ性質たち
    • 空集合の性質
    • 交換則
    • 結合則
    • 分配則
    • ド・モルガンの法則
    • 積の和集合と共通部分
  • さらに発展的な集合
    • 一般の和集合
    • 一般の共通部分
    • 有限直積集合
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